قوانين الاحتمالات في الرياضيات

ما هي الاحتمالات؟

تعرف الاحتمالات (بالإنجليزية: Probability) بأنها فرع من فروع علم الإحصاء الذي يدرس احتمالية حدوث حدث عشوائي خلال التجارب العشوائية المختلفة، إذ إن التجربة العشوائية هي التجربة التي يمكن إجراؤها أكثر من مرة وبلا حدود،

 ويتنبأ بمدى احتمال حدوث الحدث بقيمة رياضية تعبيرية تتراوح بين الصفر والواحد، وفي قوانين الاحتمالات لا يمكن تأكيد نسبة حدوث حدث معيّن، وإنما يمكن التنبؤ بفرصة وقوعه من بين جميع الأحداث المحتملة الأخرى

ما أهم قوانين الاحتمالات في الرياضيات؟

تنقسم قوانين الاحتمالات في الإحصاء إلى ثلاثة أقسام وهي؛ القانون العام، وقانون الأحداث المستقلة، وقانون الأحداث المتصلة، وفيما يلي تفصيلها وطريقة كتابتها بالرموز:

القانون العام للاحتمالات

حسب القانون العام للاحتمالات فإن: احتمال حدوث أي حدثين معًا في حال كانت الأحداث منفصلة يساوي صفرًا، ويكتب القانون بالصورة التالية:

• ح ( أ و ب) = 0

أما عن احتمال حدوث الحدث الأول أو حدوث الحدث الثاني فإن الاحتمال يكون بجمع احتمال الحدث الأول مع احتمال الحدث الثاني، ومن ثم طرح احتمال حدوثهما معًا من ناتج الجمع، ويُعبر عن القانون العام للاحتمالات بالصيغة الرياضية الآتية:[٢]

• ح ( أ أو ب) = ح (أ) + ح (ب) – ح ( أ و ب ).

قانون الأحداث المستقلة

يقصد بالأحداث المستقلة أن وقوع الحدث الأول لا يؤثر على مقدار احتمال وقوع الحدث الثاني، مثل رمي قطعة من النقود أو حجر النرد مرتين دون أن تؤثر نتيجة الاحتمال الأول على الثاني، ويمكن معرفة احتمال حدوث الحدثين معًا أو بشكل منفصل عن طريق قوانين الجمع والطرح لحدوث الأحداث الموجودة في القانون العام للاحتمالات، ويعبّر عن قانون الاحداث المستقلة رياضيًا بما يأتي:

• ح ( أ | ب) = ح (أ).
• ح (ب | أ)= ح (ب)
• ح ( أ ∩ ب) = ح (أ) .ح (ب).

قانون الأحداث المتّصلة

وهي عكس الأحداث المستقلة، إذ إن حدوث الحدث الثاني يتأثر ويعتمد على حدوث الحدث السابق أولًا، مثل أن احتمال الفوز بمسابقة معيّنة يتطلب الاشتراك بداية في المسابقة، أو سحب بطاقة من مجموع بطاقات في صندوق دون إرجاع البطاقة المسحوبة، ويعبّر عن قانون الأحداث المتصلة رياضيًا بما يأتي:

• احتمال حدوث الحدث (أ) بالاعتماد على حدوث الحدث (ب): ب= أ/ (أ + ب – 1).
• احتمال حدوث الحدث (أ) بالاعتماد على حدوث عدد (ن) من الأحداث قبله= أ/ ( أ + ب – ن)، ويعبر عنه بما يلي: ح ( أ | ب) = أ/ ( أ + ب – ن)

قانون الأحداث المشروطة

في قانون الأحداث المشروطة يعتمد احتمال الحصول على حدث معيّن على الحدث الذي قبله، مثل عملية سحب كرات ملونة من صندوق يحتوي على عدد من الكرات، فإن الحصول في كل مرة على لون محدّد يكون مشروطًا بالكرة التي تم سحبها من قبل، وذلك لنقص عدد الكرات التي يمكن الحصول عليها في كل مرة نتيجة سحبها من الصندوق، ويتم التعبير عن قانون الاحتمالات المشروطة رياضيًا كما يأتي:

• احتمال حدوث الحدث (أ) في المرة الأولى = أ / (أ + ب)، وبالرموز؛ ح (أ) = أ/ (أ + ب).
• أما عن احتمال حدوث الحدث (أ) في المرة الثانية بعد ظهور الحدث (أ) في المرة الأولى، فيمكن التعبير عنه بالصيغة: ح (أ) في المرة الثانية= (أ – 1)/ (أ + ب -1).
• وبالنسبة لاحتمال حدوث الحدث (أ) في المرة الثانية بعد ظهور الحدث (ب) في المرة الأولى تعبر عنه بالصيغة الآتية: ح (أ) في المرة الثانية = أ / (أ + ب-1).

قانون الأحداث المتنافية

تعبّر الأحداث المتنافية في الاحتمالات عن عدم إمكانية حدوث حدثين معينين في الوقت ذاته، أي أنه إذا حدث الاحتمال الأول فإنه من غير الممكن حدوث الحدث الثاني ويكون احتمال حدوثه صفرًا، ويعبّر عن ذلك بالصيغة الرياضية الآتية:

• احتمال حدوث الحدث أ مع الحدث ب = صفر، وبالرموز؛ ح (أ ∩ ب) =0

أمثلة على قوانين الاحتمالات

فيما يلي بعض الأمثلة التي تساعد على فهم قوانين الاحتمالات وطريقة استخدام كل نوع:

مثال على القانون العام للاحتما��ات

في صندوق يحتوي على 10 كرات ملونة؛ أربعة منها زرقاء، وستة سوداء، عند سحب كرتين من الصندوق ما احتمال الحصول على كرتين زرقاوين في كلا المرتين؟

الحل:

• • احتمال الحصول على كرة زرقاء في المرة الأولى = عدد الكرات الزرقاء / مجموع الكرات= 4/10.
  • احتمال الحصول على كرة زرقاء في المرة الثانية = عدد الكرات الزرقاء المتبقية / مجموع الكرات المتبقية= 3/9.
  • ح (أ ∩ ب)= 4/10× 3/9= 12/90.

مثال على قانون الأحداث المستقلة

ما احتمال ظهور صورة على قطعة النقد الثانية عند رمي قطعتي نقد معًا؟

• الحل: لا يؤثر رمي قطعة النقد الأولى في احتمال ظهور الصورة أو الكتابة عند رمي قطعة النقد الثانية، إذ إنهما حدثان مستقلان لا علاقة لأحدهما بالآخر ويصبح الاحتمال كالآتي:
  • احتمال الصورة = الصورة/ (الصورة + الكتابة)
  • احتمال الصورة = 1/2.

مثال على قانون الأحداث المتصلة

يوجد ثلاث كرات في صندوق مغلق مختلفة في اللون بحيث إنها تمتلك الألوان؛ الأحمر والأصفر والأخضر، في حال اختيار الكرات من الصندوق وعدم إرجاعها إليه مرة أخرى، ما احتمال الحصول على كرة صفراء في المرة الثانية علمًا أنه تم الحصول على كرة حمراء في المرة الأولى؟

• الحل: في هذا المثال لا يتأثر ظهور اللون باللون الذي قبله، ولكن الاحتمال يختلف بسبب تناقص مجموع الاحتمالات في كل حدث، ويتصل الحدث بالحدث الذي قبله باستمرار، ويكون الحل كالآتي:
  • ح(الكرة الحمراء)= 1\ مجموع الكرات=1/3.
  • ح(الكرة الصفراء)= 1\ مجموع الكرات المتبقية= 1/2.

مثال على قانون الأحداث المشروطة

افترض أن هناك كيس يحتوي على 4 كرات بداخله؛ اثنتين منهما زرقاء واثنتين حمراء اللون، ما احتمال الحصول على كرة زرقاء في المرة الثانية إذا علمت أنه تم الحصول على كرة زرقاء في المرة الأولى؟

الحل:

• • ح (كرة زرقاء)=(2-1) \ (4-1)
  • ح (كرة زرقاء)= 1/3.

مثال على قانون الأحداث المتنافية

افرض وجود مجموعتين من الأعداد أحدهما المجموعة أ = {1 ، 3 ، 5}، والأخرى هي المجموعة ب = {2 ، 4 ، 6}، جد احتمال ظهور العدد 4 في المجموعتين معًا؟

• الحل: في قانون الأحداث المتنافية فإنه من المستحيل الحصول على الحدث في المجموعتين معًا وفي حال حدوث الحدث الأول فإنه لا يمكن حدوث الحدث الثاني، لأن الحدثين متنافيين، ويكون الحل رياضيًا كالآتي:
  • ح( أ ∩ ب) في الرقم 4 غير ممكن؛ وهذا يعني ح (أ ∩ ب)= 0

الخلاصة

تعد الاحتمالات إحدى فروععلم الإحصاء في الرياضياتالتي تدرس إمكانية حدوث حدث عشوائي خلال تجربة عشوائية، وذلك من خلال التعبير عنه بقيمة رياضية بين (0-1)، ويوجد العديد من القوانين الخاصة بالاحتمالات، أبرزها؛ القانون العام للاحتمالات، وقانون الأحداث المستقلة، وقانون الأحداث المتصلة، بالإضافة إلى قانون الأحداث المتنافية، ويقيس كل من تلك القوانين احتمالية حدوث حدث معين أو حدثين تحت ظروف معينة.

فضلا لا أمرا إدعمنا بمتابعة 

  

https://t.me/eduschool40