طريقة حل معادلة تربيعية

العبارة التربيعيّة هي من علوم الجبر وهو أحد فروع علم الرياضيات، والعبارة التربيعيّة هي مقدارٌ جبريٌّ متعدد الحدود من الدرجة الثانية، لأنَّ القوى العظمى هي الرقم 2، تأتي على الصورة (أس² + ب س + ج = 0)؛ حيثُ أنَّ أ، ب، ج أعدادًا حقيقيّة، و أ≠ 0، ويكون أ: معامل س²، ب: معامل س، ج: الحد المُطلق، وتحتوي المعادلة التربيعيّة على حلين على الأكثر وتُسمى جذور المعادلة، وفي هذا المقال سيتم التعرف على طريقة حل معادلة تربيعيّة

طريقة حل معادلة تربيعية

تُعدُّ المعادلة التربيعيّة معادلة كثيرات الحدود من الدرجة الثانيّة، ولحلِّ المعادلات يوجد العديد من الطرق المختلفة في حل المعادلة التربيعيّة وتشمل: التحليل إلى العوامل، إكمال المربع، القانون العام باستخدام المميز، ولتوضيح طريقة حل معادلة تربيعية يجب تتبع الخطوات الآتية عند حلها وتكون على النحو الآتي:

التحليل إلى العوامل

عند التحليل إلى العوامل في البدايةً يتمُّ إعادة ترتيب المعادلة التربيعيّة على الصورة العامة وهي: أ س² + ب س + ج = 0، ومن ثمُّ تحليل المعادلة التربيعيّة إلى عواملها من خلال فتح قوسين، ومساواة كل قوس بالصفر، ومن ثم إيجاد حلول أو جذور المعادلة التربيعيّة، ومثال على طريقة حل معادلة تربيعيّة باستخدام التحليل إلى العوامل،وهي طريقة حل المعادلة: س² + 6 س+ 9:

يُلاحظ أنَّ المعادلة مرتبة على الصورة العامة.
مساواة المعادلة التربيعيّة بالصفر على النحو الآتي: س² + 6 س + 9 = 0.
تحليل المعادلة إلى عواملها من خلال فتح قوسين ومساواة القوسين بالصفر على النحو الآتي: (س+3) (س+3) = 0.
يتمُّ حل المعادلة من الدرجة الأولى في القوس الأول:س+3=0، حيثُ إنَّ س = 0 – 3، ومنها س = -3، ويتم حل المعادلة في القوس الثاني س+3=0، ومنها س=-3، وهذا يعني أنَّ حل المعادلة هو العدد -3.

إكمال المربع

إنّ طريقة إكمال المربع هي طريقة حل معادلة تربيعيّة، وعند استخدام هذه الطريقة في حل المعادلة يجب في البداية ترتيب المعادلة على الصورة العامة: أ س²+ ب س+ ج = 0، ومن ثُمَّ إيجاد مربع نصف معامل ب على النحو الآتي: (ب ÷ 2) ²، ومن ثُمَّ يتم إضافته لكلا الطرفين في المعادلة التربيعيّة، وتحويل الجانب الأيمن من المعادلة إلى صورة مربع كامل، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين في المعادلة، مما ينتج عنه معادلتين من الدرجة الأولى من الجانب الأيمن مساوي الجذور التربيعيّة الموجبة والسالبة من الجانب الأيسر، ثمَّ يتمُّ حلُّ المعادلتين من الدرجة الأولى،ومثال على ذلك طريقة حَل المعادلة الآتية: س ²+ 8س = 0:

في البداية يتم إيجاد مربع نصف معامل ب وهو: (8 ÷ 2) ²= 16.
يُضاف العدد 16 إلى طرفي المعادلة: س ²+ 8 س + 16= 0 + 16.
تحويل الجانب الأيمن إلى مربع كامل: (س + 4) ²= 16.
يُأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين وينتج عنه حلان للمعادلة: س + 4=+4، و س + 4 =-4.
وبحل المعادلتين: س=4 – 4 = 0، س=-4 – 4 = -8.
إذن حلول المعادلة التربيعيّة هي س= 0،و س=-8.

طرق أخرى لحل المعادلة التربيعية

من الطرق الأخرى لحل معادلة تربيعيّة هو القانون العام باستخدام المميز، وُيعدُّ من أبسط الطرق المستخدمة في حل معادلات تربيعيّة، ولإيجاد حل المعادلة التربيعيّة الآتية: أ س²+ ب س+ ج = 0، وفي البداية يتم ترتيب المعادلة التربيعيّة على الصورة العامة، ومن ثمَّ تحديد المعاملات لكل من أ، ب، ج، ومن ثمَّ إيجاد المميز باستخدام المعادلة الآتية: ب² – 4 أ ج،والذي يتم من خلاله تحديد عدد حلول المعادلة التربيعيّة وطبيعتها، حيثُ يوجد ثلاث حالات للمميز، وهي على النحو الآتي:

الحالة الأولى: عندما تكون قيمة المميز موجبة، بمعنى أنَّ القيمة أكبر من صفر، في هذه الحالة يوجد حلين للمعادلة.
الحالة الثانية: عندما تكون قيمة المميز صفرًا في هذه الحالة يوجد حل واحد فقط للمعادلة، وتستخدم العلاقة التالية لإيجاد حل المعادلة وهي: -ب ÷ 2أ.
الحالة الثالثة: عندما تكون قيمة المميز سالبة، بمعنى أنَّ القيمة أقل من صفر، في هذه الحالة لا يوجد حلول للمعادلة.

بعد إيجاد المميز للمعادلة التربيعيّة يتمُّ إيجاد جذور المعادلة باستخدام القانون العام، وهي كالآتي: س1=-ب + الجذر التربيعي للمميز ÷ 2أ، سس2=-ب – الجذر التربيعي للمميز ÷ 2أ، ومثال على حَل معادلة تربيعيّة باستخدام القانون العام على النحو الآتي: س² + 4س – 21 = 0:

بدايةً يتمُّ تحديد قيم المعاملات حيثُ: أ = 1، ب =4، ج = -21.
إيجاد المميز بتعويض قيم المعاملات في قانون المميز: (4) ²- 4 * 1 * -21 = 100.
يُلاحظ أنَّ قيمة المميز تساوي 100، وهي أكبر من صفر، بمعنى أنهُ يوجد حلان للمعادلة التربيعيّة.
استخدام القانون العام لإيجاد: س1= -4 + الجذر التربيعي 100 ÷ 2 * 1، فإنَّ س1 =-4 + 10 ÷2، ومنها س1= 6÷2=3، إذن س1=3، يُمثل الحل الأول للمعادلة.
إيجاد الحل الثاني للمعادلة وهو: س1= -4 – الجذر التربيعي 100 ÷ 2 * 1، فإنَّ س1= -4 – 10 ÷ 2، ومنها س2= -14 ÷2 = -7، إذن س2= -7، ويُمثل الحل الثاني للمعادلة.
يلاحظ أنه يوجد حلان للمعادلة وهي: س= 3، و س= -7