ما هو علم التوبولوجي ؟

 ما هو علم التوبولوجي ؟

التوبولوجي كلمة مترجمة من الكلمة الإنجليزيةTopology ، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى مقطعين المقطعالأول ( Topo) التي تعود إلى أصليوناني إلى ( Topos ) و التي تعني”مكان” ( Place ) ، و المقطع الثاني هو (logy ) و التي تعود لأصل يوناني ( Logos ) و التي تعني “دراسة” (Study ) ، فلو قمنا بعملية ربط المعنيينفي الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيبوالمكونات للفضاءات المختلفة .

 

إذن يعرف علم التوبولوجي

هو أحد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم فيدراسة تراكيب و مكونات و خضائص جميعالفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه تحت عمليات التشكيل المتصلة ( Smooth Deformations ) دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات فيالإنتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .
و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعاملبها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضحالمفهوم بشكل جيد ، لندرس الآتي :
من المعلوم لدينا أن المستوى الإقليدي فيالهندسة الإعتيادية التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم بعملية نقل الأشكال من مكانإلى آخر عن طريق الإزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية دوران له و عكسه وقلبه ، و لكن لا نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل متصل .

مفهوم الهندسة المطاطية :
بشكل موجز أن الأشكال عبارة عن قطع من المطاطقابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أوأكثر بإمكاننا أن نحصل على أحدهما من الآخر وبالعكس يكونا متشابهين .

فمثلاً :
المثلث و الدائرة و المربع ، كلها أشكال موجودة في المستوى الإقليديبخصائصها ، و نقول أن أحدهما كافىء الآخر إذا كان لهما نفس المساحة .
في الهندسة المطاطية جميع هذه الأشكال هينفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب يعود إلى أنه يمكن تشكلالمثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزوايا للمثلث و بالعكس يمكن إعادةتشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضلاع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبقعلى المستطيل .
لاحظ أنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه الأشكالمن الآخر لم نقم بعملية قطع Cut لأحدها و لم نقم بعملية تزيق للشكل من جهة أيترك أي نقطة انفصال .و بالتالي في الهدنسة المطاطية ( التوبولوجي ) يكون الأشكالمتشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعمليات متصلة و بالعكس . وبالتالي الدائرة لا تشابه الشكل الذي يشبه الرقم بسبب أنه يمكن الحصولعليه من قبل الدائرة و لكن في العكس لا يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل منتصف رقم لم نحتاج إلى أي نقطةانفصال من الدائرة إلى الرقم ، و قيس عل ذلك بأمثلةعديدة .
نستطيع القول بأن الأشكال التي تشترك بنفسالعدد من الفتحات ( نقاط الإنفصال ) يكون كلاهما متشابه في الهدنسة المطاطية ، أيكلاهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي لا تحوي على أي فتحة تدعى مترابط بشكلبسيط Simply connectedspace.
التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة .
فروع التوبولوجي

يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي :

1) التوبولوجي النقطية ( point-set Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العامة منناحية خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة Compactness التراص و Connectedness ( الترابط ) .
2) التوبولوجي الجبرية ( Algebraic Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسةدرجات الترابط من خلال التراكيب الجبرية ، مثل دراسة علم الهمولوجي ( Homology ) .
3) التوبولوجي الهندسية ( Geometric Topology ) :
و هو الفرع الذي يهتم في دراسة Manifolds ( بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكونهميومورفيك إلى الفضاء الإقليدي ) ( و يهتم بالأبعاد حسب أبعاد الفضاء الإقليدي ).

تأريخ التوبولوجي بشكل موجز

بدأ التفكير في التوبولوجي من خلال مشكلةأولير في المسألة المشهورة ” السبعة الجسور في مدينة كونسبريك” (Seven Bridges ofKönigsberg) ، و كانت ورقة أويلر عام
1736 أول نتيجة على الفضاء التوبولوجي .
أول من قدم مصطلح التوبولوجي هم الألمان باسم ” Topologie ” عام 1847 بواسطة جوهان بندكت ، و من ثمأظهر أصحاب التخصص في اللغة الإنجليزية أن كلمة Topologist هو كل شخص متخصص في التوبولوجي .
أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل كانتور في أواخر القرن التاسع عشر.
قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقامالعالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف للفضاء المتري الذي يعتبر حالة خاصة فيالتوبولوجي حالياً في سنة 1906 .
و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له والذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور جداً في سنة 1914. و لكن أتى العالمكزميرز كورتويسكي Kazimierz Kuratowski. سنة 1922 بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً .

=======================================

The Definition of Topology

تعريف الرياضي للتوبولوجي :

لتكن أي مجموعة ، و لتكن هي مجموعة التي جميع المجموعات الجزئية من و الي تدعى ( power set ) .
لنفرض أن ، فإذا كان لدينا :
1) حاصل اتحاد أي عدد من العناصر داخل يكون حاصل اتحادهم داخل .
بالرموز :
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن :

2) حاصل تقاطع أي عائلة تضم عدد محدود من العناصر من داخل يكون حاصل تقاطعهم داخل .
بالرموز :
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن :

3) المجموعتان و داخل أي :

فإننا نقول أن عبارة عن توبولوجي على المجموعة .
و الزوج المرتب يدعى الفضاء التوبولوجي ( Topological Space ) .

تسمى عناصر بمجموعات مفتوحة ( Open Sets )، نشير إلى أن متممة المجموعة المفتوحة تكون مجموعة مغلقة في ( Closed set ) ، و قد تكون في فضاءات توبولوجية خاصة مجموعات تكون كلوبن ( Clopen Sets ) أي أنها مغلقة و مفتوحة في نفس الوقت ، و في أي فضاء توبولوجي المجموعتين دائماً تكون مجموعات كلوبن 

نشير إلى إشارة بسيطة بأن الشرط الثاني يمكن تبسيطه إلى ان تقاطع أي مجموعتين من عناصر يجب أن يكون حاصل تقاطعهم داخل ، و يكون الشرط الثاني المذكور في الأعلى عبارة عن تعميم عن طريق الإستقراء الرياضي ( الترجع ) .